Функции бесселя для чайников. Формулы гаусса и бесселя
БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ, цилиндрические функции 1-го рода; используются при изучении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.), рассматриваемых в областях с круговой и цилиндрической симметрией. Бесселя функции являются решениями Бесселя уравнения.
Бесселя функции J p порядка (индекса) р, -∞<р<∞, представляется сходящимся при всех Х рядом
где Г - гамма-функция. График J p (х) при х > 0 представляет собой кривую с затухающими колебаниями; J p (х) имеет бесконечное множество нулей; первые слагаемые ряда дают асимптотику J p (х) при малых |х|, при больших х>0 справедливо асимптотическое представление
Бесселя функции порядка р = n + 1/2, где n - целое число, выражаются через элементарные функции; в частности,
µ n p - положительные корни уравнения J p (х) = 0, р > - 1/2, l - некоторое положительное число, образуют ортогональную с весом х систему на интервале (0, l).
Функция J 0 была впервые исследована Д. Бернулли в работе, посвящённой колебаниям тяжёлых цепей (1732). Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р = n и нашёл выражение J n (х) в виде ряда по степеням х, позднее он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель в связи с изучением движения планет вокруг Солнца исследовал (1824) функции J p (х) и составил первые таблицы для J 0 (х), J 1 (х).
Лит.: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М., 1949. Ч. 1-2; Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. 2-е изд. М.; Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М., 1974.
Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.
Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.
Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, называется уравнением Бесселя . Число \(v\) называется порядком уравнения Бесселя .
Данное дифференциальное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя , который подробно исследовал его и показал (в \(1824\) году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя .
Конкретное представление общего решения зависит от числа \(v.\) Далее мы отдельно рассмотрим два случая:
Порядок \(v\) является нецелым числом;
Порядок \(v\) является целым числом.
Случай 1. Порядок \(v\) является нецелым числом
Полагая, что число \(v\) является нецелым и положительным, общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде \ где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные, а \({J_v}\left(x \right),\) \({J_{ - v}}\left(x \right)\) − функции Бесселя первого рода .
Функцию Бесселя первого рода можно представить в виде ряда, члены которого выражаются через так называемую гамма-функцию : \[{J_v}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p + v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p + v}}} .\] Гамма-функция является расширением факториальной функции с множества целых на множество действительных чисел. В частности, она обладает следующими свойствами: \[ {\Gamma \left({p + 1} \right) = p!,}\;\; {\Gamma \left({p + v + 1} \right) = \left({v + 1} \right)\left({v + 2} \right) \cdots \left({v + p} \right)\Gamma \left({v + 1} \right).} \] Аналогичным образом записываются функции Бесселя первого рода отрицательного порядка (с индексом \(-v\)). Здесь мы предполагаем, что \(v > 0.\) \[{J_{ - v}}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p - v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p - v}}} .\] Функции Бесселя вычисляются в большинстве математических пакетов. Для примера вид функций Бесселя первого рода порядка от \(v = 0\) до \(v = 4\) показан на рисунке \(1.\) Эти функции можно вычислить также и в MS Excel.
Случай 2. Порядок \(v\) является целым
Если порядок \(v\) дифференциального уравнения Бесселя является целым, то функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right)\) становятся зависимыми друг от друга. В этом случае общее решение уравнения будет описываться другой формулой: \ где \({Y_v}\left(x \right)\) − функция Бесселя второго рода . Иногда это семейство функций называют также функциями Неймана или функциями Вебера .
Функцию Бесселя второго рода \({Y_v}\left(x \right)\) можно выразить через функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right):\) \[{Y_v}\left(x \right) = \frac{{{J_v}\left(x \right)\cos \pi v - {J_{ - v}}\left(x \right)}}{{\sin \pi v}}.\] Графики функций \({Y_v}\left(x \right)\) для нескольких первых порядков \(v\) представлены выше на рисунке \(2.\)
Примечание : В действительности общее решение дифференциального уравнения Бесселя можно выразить через функции Бесселя первого и второго рода также и для случая нецелого порядка \(v.\)
Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
1. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя , которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой \(x\) на \(-ix.\) Это уравнение имеет вид: \[{x^2}y"" + xy" - \left({{x^2} + {v^2}} \right)y = 0.\] Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода : \[ {y\left(x \right) = {C_1}{J_v}\left({ - ix} \right) + {C_2}{Y_v}\left({ - ix} \right) } = {{C_1}{I_v}\left(x \right) + {C_2}{K_v}\left(x \right),} \] где \({I_v}\left(x \right)\) и \({K_v}\left(x \right)\) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.2.
Дифференциальное уравнение Эйри
, известное в астрономии и физике, записывается в виде:
\
Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка \(\pm \large\frac{1}{3}\normalsize:\)
\[
{y\left(x \right) }
= {{C_1}\sqrt x {J_{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right) + {C_2}\sqrt x {J_{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right).}
\]
3.
Дифференциальное уравнение вида
\[{x^2}y"" + xy" + \left({{a^2}{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
отличается от уравнения Бесселя лишь множителем \({a^2}\) перед \({x^2}\) и имеет общее решение в следующем виде:
\
4.
Похожее дифференциальное уравнение
\[{x^2}y"" + axy" + \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
также сводится к уравнению Бесселя
\[{x^2}z"" + xz" + \left({{x^2} - {n^2}} \right)z = 0\]
с помощью подстановки
\
Здесь параметр \({n^2}\) обозначает
\[{n^2} = {v^2} + \frac{1}{4}{\left({a - 1} \right)^2}.\]
В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой
\.\]
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, например, при исследовании
распространения волн;
теплопроводности;
колебаний мембран
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):
Здесь - это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.
Ниже приведены графики для :
Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:
5. Вычисление спектра амплитуд и фаз периодических сигналов с помощью процедуры БПФ;
Есть файл в маткаде
Спектр мощности соответствует мощности, рассчитанной как квадрат амплитуды для каждой частоты, но не имеет никакой информации о начальной фазе. Поскольку спектр мощности теряет информацию о начальной фазе, можно попытаться использовать БПФ, чтобы определить и частоту, и информацию о фазе сигнала.
Информация о начальной фазе, которую БПФ обеспечивает, есть фаза относительно начала отсчета сигнала в области времени. Поэтому необходимо начинать выборку от некоторого момента в сигнале, чтобы получить непротиворечивые
сведения о начальной фазе. Колебание по закону синуса имеет начальную фазу, равную - 90°. Колебание по закону косинуса имеет начальную фазу, равную 0°. Обычно основным интересом для анализа спектра сигнала представляет измерение разности фаз между составляющими спектра или разности фаз между двумя гармоническими колебаниями, полученными одновременно. Можно рассмотреть разность фаз между двумя сигналами, используя некоторые из расширенных функций БПФ.
В результате БПФ получают двусторонний спектр в комплексной форме с реальными и мнимыми частями. Необходимо масштабировать и преобразовать двусторонний спектр в полярную форму, чтобы получить амплитуду и фазу каждой гармонической составляющей сигнала. Ось частоты полярной формы идентична оси частоты двустороннего спектра мощности.
Часто ДПФ применяется для наблюдения и анализа спектра сигнала.
При этомчасто наиболее интересными являются лишь амплитуды Ck отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (рис.2). Часто шкала частот градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Напри- мер, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно на 6 дБ. Формула для вычисления разницы в децибелах та-кова:
Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.
Перед вычислением спектра сигнала нужно выбрать отрезок сигнала, на кото- ром будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ. Коэффициенты
При вычислении спектра указанным образом возможен следующий нежела- тельный эффект. При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем, что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его.
Для устранения этого эффекта применяются так называемые взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участ- ка. Весовые окна имеют форму, похожую на гауссиан. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала. Виртуальное «зацикли- вание» происходит при ДПФ, так как алгоритм ДПФ полагает, что функция пе- риодическая. Существует множество весовых окон, названных в честь их соз- дателей. Все они имеют похожую форму и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. Мы приведем формулы двух хороших окон: Хэмминга (Hamming window) и Блэкмана (Blackman window) (рис. 1):
Здесь окно применяется к сигналу с индексами от 0 до N. Окно Хэмминга наи- более часто используется. Окно Блэкмана обладает более сильным действием по устранению рассмотренных искажений, однако имеет свои недостатки.
Рис. 1 Взвешивающие окна Хэмминга (верхнее) и Блэкмана (нижнее).
Важное свойство спектрального анализа заключается в том, что не существует одного, единственно правильного спектра какого-либо сигнала. Спектр можно вычислять с применением различных размеров БПФ и различных весовых окон. Для каждого конкретного приложения предпочтительно использовать свои способы. От выбора размера БПФ зависит разрешение спектра по частоте и по времени. Если выбрать длинный участок сигнала для разложения в спектр, то мы получим хорошее разрешение по частоте, но плохое по времени (т.к. спектр будет отражать усредненное поведение сигнала на всем участке взятия БПФ). Если для разложения в спектр выбрать короткий участок сигнала, то мы получим более точную локализацию по времени, но плохое разрешение по час- тоте (т.к. в преобразовании Фурье будет слишком мало базисных частот). В этом заключается фундаментальный принцип соотношения неопределенно- стей при вычислении спектра: невозможно одновременно получить хорошее разрешение спектра и по частоте, и по времени: эти разрешения обратно про- порциональны.
Еще одно важное свойство спектрального анализа заключается в том, что при разложении в спектр мы находим не те синусоидальные составляющие, из ко- торых состоял исходный сигнал, а лишь находим, с какими амплитудами нуж- но взять определенные кратные частоты, чтобы получить исходный сигнал. Другими словами, разложение проводится не по «частотам исходного сигна- ла», а по «базисным частотам алгоритма БПФ». Однако обычно (особенно при использовании весовых окон) этого почти не заметно по графику спектра, то есть график спектра достаточно адекватно отображает именно частоты исход- ного сигнала.
Рис. 2. Фрагменты различных сигналов (около 800 точек) и спектры более длинных отрезков этих сигналов (4096 точек). Сверху вниз: нота на форте- пиано, голос (пение), барабан (бочка), тарелка (открытый хэт).
6. Вычисление спектральной плотности импульсных сигналов с помощью БПФ