Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Вычисление производных с помощью логарифмической производной

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.

Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных , правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции .

Вывод формулы логарифмической производной.

Сначала производим логарифмирование по основанию e , упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:

Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x .

Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:

Ответ: .

Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере функция представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной . Почему? Вы сейчас поймете.

Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):

Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:

Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:

Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.

Пример.

Найдите производную показательно степенной функции

Пусть
(1)
есть дифференцируемая функция от переменной x . В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x , для которых y принимает положительные значения: . В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений .

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ,
.
Отсюда
(2) .

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.

Логарифмическая производная функции y = f(x) - это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x))′ .

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3) .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x , отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Свойство логарифмической производной

Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную :
.
Действительно, применяя свойства логарифма , формулы производной суммы и производной постоянной , имеем:

.

Применение логарифмической производной

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Пример 1

Найти производную функции:
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
.

Дифференцируем по переменной x .
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
;
;
;
;
(П1.1) .
Умножим на :

.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.

Примечание

Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда
;
.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

Ответ

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем:
(П2.1) .
Дифференцируем по переменной x :
;
;

;
;
;
.

Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.

Производная исходной функции:
.

Примечание

Здесь исходная функция неотрицательная: . Она определена при . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
.
Поскольку

и
,
то это не повлияет на окончательный результат.

Ответ

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что :
(П3.1) .

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
(П3.2) .

Поскольку , то

.

Примечание

Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
;

.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

Дифференцирование показательной и логарифмической функций

1. Число е. Функция у = е х, ее свойства, график, дифференцирование

Рассмотрим показательную функцию у=а х, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232-234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).

Теперь проведем касательную к графику функции у=3 x тоже в точке х = 0 (рис. 233). Здесь угол между касательной и осью х будет больше - 48°. А для показательной функции у = 10 x в аналогичной
ситуации получаем угол 66,5° (рис. 234).

Итак, если основание а показательной функции у=ах постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично считать, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции у- 2х интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции у=3 x он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Интересующее нас основание принято обозначать буквой е. Установлено, что число е - иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь :

e = 2,7182818284590...;

на практике обычно полагают, что e=2,7.

Замечание (не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к числу e не имеет, тем не менее в записи числа е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 - год рождения Л.Н. Толстого.

График функции у=е х изображен на рис. 235. Это - экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.

Свойства функции у = е х:

1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.

Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у=а х при а > 1. Вы обнаружите те же свойства 1-8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с
дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.

Выведем формулу для отыскания производной у-ех. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство - дифференцируемость функции у=е х).

1. Отметим, что для функции y = f(х), где f(х) =ех, значение производной в точке х =0 нам уже известно: f / = tg45°=1.

2. Введем в рассмотрение функцию у=g(x), где g(х) -f(х-а), т.е. g(х)-ех" а. На рис. 236 изображен график функции у = g(х): он получен из графика функции у - fх) сдвигом по оси х на |а| единиц масштаба. Касательная к графику функции у=g(х) в точке х-а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х -0 (см. рис. 236), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g(а) =tg45°;=1.

3. Вернемся к функции у = f(х). Имеем:

4. Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение . Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим

Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Тема урока: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» в заданиях ЕНТ

Цель : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» для решения задач ЕНТ.

Задачи

Образовательные: систематизировать теоретические знания учащихся, закрепить навыки решения задач по данной теме.

Развивающие: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, внимания, навыков самооценки и самоконтроля.

Воспитательные: способствовать:

формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

развитию устойчивого интереса к математике;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Ход урока

Эпиграф: « Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике» Аристотель (слайд 2)

I. Организационный момент.

II. Разгадывание кроссворда. (слайд 3-21)

Французский математик XVII века Пьер Ферма определил эту линию так «Прямая, наиболее тесно прилегающая к кривой в малой окрестности точки».

Касательная

Функция, которая задается формулой у = log a x.

Логарифмическая

Функция, которая задается формулой у = а х.

Показательная

В математике это понятие используется при нахождении скорости движения материальной точки и углового коэффициента касательной к графику функции в заданной точке.

Производная

Как называется функция F(x) для функции f(x), если выполняется условие F"(x) =f(x) для любой точки из интервала I.

Первообразная

Как называется зависимость между X и У, при которой каждому элементу Х ставится в соответствие единственный элемент У.

Производная от перемещения

Скорость

Функция, которая задается формулой у = е x .

Экспонента

Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(t(x)), то эту функцию называют…

III. Математический диктант.(слайд 22)

1. Записать формулу производной показательной функции. (а х)" = а х ·ln a

2. Записать формулу производной экспоненты. (e х)" = e х

3. Записать формулу производной натурального логарифма. (ln x)"=

4. Записать формулу производной логарифмической функции. (log a x)"=

5. Записать общий вид первообразных для функции f(x) = а х. F(x)=

6. Записать общий вид первообразных для функции f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Проверить работу (ответы на слайде 23).

IV. Решение задач ЕНТ (тренажер)

А) №1,2,3,6,10,36 на доске и в тетради (слайд 24)

Б) Работа в парах №19,28 (тренажер) (слайд 25-26)

V. 1. Найти ошибки: (слайд 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2х, f "(x)= 17 2х ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Презентация учащихся.

Эпиграф: «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» Фома Аквинский (слайд 28)

VII. Дом.задание №19,20 стр.116

VIII. Тест (резервное задание) (слайд 29-32)

IX. Итог урока.

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей жизни» М.Калинин (слайд 33)