ДО 

Кос х 1 частный случай. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида Косинусоида
y = sin x y = cos x
ОДЗ [-1; 1] ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
функция периодическая, наименьший период - 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = - sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

  1. Y = tg x.
  2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  5. Tg x = 0, при x = πk.
  6. Функция является возрастающей.
  7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Концепция решения тригонометрических уравнений.

  • Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Ответ: х = π/4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: х = π/12 + πn.

  • Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите решение на единичной окружности.

      • Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
      • Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
        • Метод 1.
      • Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
      • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
        • Метод 2.
      • Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
      • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
      • Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

    • Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

    Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

    Уравнение cos (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

    Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

    у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

    Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

    x 2 = -arccos а.

    Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

    Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

    x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

    1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

    Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

    а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

    Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

    Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

    x = 2πп, k € Z.

    Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

    Уравнение sin (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

    Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

    Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

    Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

    1. Уравнение `sin x=a`.

    При `|a|>1` не имеет решений.

    При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

    Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

    2. Уравнение `cos x=a`

    При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

    При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

    Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

    Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

    3. Уравнение `tg x=a`

    Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

    4. Уравнение `ctg x=a`

    Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

    Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

    Для синуса:
    Для косинуса:
    Для тангенса и котангенса:
    Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

    Методы решения тригонометрических уравнений

    Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

    • с помощью преобразовать его до простейшего;
    • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

    Рассмотрим на примерах основные методы решения.

    Алгебраический метод.

    В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

    Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

    `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

    делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

    находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

    1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

    2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

    Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

    Разложение на множители.

    Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

    Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

    `sin x — 2sin^2 x/2=0`,

    `2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

    `2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

    1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
    2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

    Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

    Приведение к однородному уравнению

    Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

    `a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

    Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

    Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

    Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

    `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

    `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

    `sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

    Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

    `\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

    `tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

    1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
    2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

    Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

    Переход к половинному углу

    Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

    Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

    `4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

    Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

    1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
    2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

    Введение вспомогательного угла

    В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

    `\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

    Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

    `cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

    Подробнее рассмотрим на следующем примере:

    Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

    Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

    `\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

    `3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

    Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

    `cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

    Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

    `sin (x+\varphi)=2/5`,

    `x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

    `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

    Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

    Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

    Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

    Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

    `\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

    `\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

    `\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

    `\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

    `\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

    Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

    Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Тригонометрические уравнения.

    Простейшие тригонометрические уравнения.

    Методы решения тригонометрических уравнений.

    Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

    Простейшие тригонометрические уравнения.



    Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

    1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

    (метод замены переменной и подстановки).

    2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

    Sin x + cos x – 1 = 0 ,

    Преобразуем и разложим на множители выражение в

    Левой части уравнения:

    П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

    Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

    Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

    Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

    2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

    Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

    Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

    1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

    3.

    Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

    а ) перенести все его члены в левую часть;

    б ) вынести все общие множители за скобки;

    в ) приравнять все множители и скобки нулю;

    г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

    cos (или sin ) в старшей степени;

    д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

    П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

    Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

    Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

    Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

    Корни этого уравнения: y 1 = - 1, y 2 = - 3, отсюда

    1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

    4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

    Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

    7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

    2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

    tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

    . . . . . . . . . .

    5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида :

    a sin x + b cos x = c ,

    Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

    Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого