Полный импульс системы шаров равен модулю. Импульс тела

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

Изменение импульса тела

Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.

1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.

Его движения , т.е. величина .

Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .

Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:

Закон сохранения импульса

Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:

Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:

Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.

При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
Решение	Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса. Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия. При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда: Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим:
Ответ	После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с.

ПРИМЕР 2

Задание	Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда?
Решение	Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси . Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись : Подставив в формулу численные значения, получим:
Ответ	Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению.

ПРИМЕР 3

Задание

Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения.

Решение

Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется. Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»:

Гольдфарб Н., Новиков В. Импульс тела и системы тел // Квант. - 1977. - № 12. - С. 52-58.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Понятие импульса (количества движения) было впервые введено в механику Ньютоном. Напомним, что под импульсом материальной точки (тела) понимается векторная величина , равная произведению массы тела на его скорость:

Наряду с понятием импульса тела используется понятие импульса силы. Импульс силы специального обозначения не имеет. В частном случае, когда действующая на тело сила постоянна, импульс силы по определению равен произведению силы на время ее действия: . В общем случае, когда сила изменяется со временем , импульс силы определяется как .

Используя понятие импульса тела и импульса силы, первый и второй законы Ньютона можно сформулировать следующим образом.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, в которых сохраняется неизменным импульс тела, если на него не действуют другие тела или действия других тел компенсируются.

Второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсчета изменение импульса тела равно импульсу приложенной к телу силы, то есть

В отличие от привычной галилеевской формы второго закона: , «импульсная» форма этого закона позволяет применять его к задачам, связанным с движением тел переменной массы (например, ракет) и с движениями в области околосветовых скоростей (когда масса тела зависит от его скорости).

Подчеркнем, что импульс, приобретаемый телом, зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности ее действия. Это можно проиллюстрировать, например, на опыте с выдергиванием листа бумаги из-под бутылки - мы оставим ее стоящей практически неподвижно, если сделаем это рывком (рис. 1). Сила трения скольжения, действующая на бутылку в течение очень малого промежутка времени, то есть небольшой импульс силы, вызывает соответственно малое изменение импульса бутылки.

Второй закон Ньютона (в «импульсной» форме) дает возможность по изменению импульса тела определить импульс силы, действующей на данное тело, и среднее значение силы за время ее действия. В качестве примера рассмотрим такую задачу.

Задача 1 . Мячик массой 50 г ударяет в гладкую вертикальную стенку под углом 30° к ней, имея к моменту удара скорость 20 м/с, и упруго отражается. Определить среднюю силу, действующую на мячик во время удара, если соударение мячика со стенкой длится 0,02 с.

На мячик во время удара действуют две силы - сила реакции стенки (она перпендикулярна стенке, так как трения нет) и сила тяжести. Пренебрежем импульсом силы тяжести, полагая, что по абсолютной величине он много меньше импульса силы (это предположение мы подтвердим позже). Тогда при столкновении мячика со стенкой проекция его импульса на вертикальную ось Y не изменится, а на горизонтальную ось X - останется такой же по абсолютной величине, но изменит знак на противоположный. В результате, как видно на рисунке 2, импульс мячика изменится на величину , причем

Следовательно, со стороны стенки на мячик действует сила такая, что

По третьему закону Ньютона мячик действует на стенку с такой же по абсолютной величине силой.

Сравним теперь абсолютные значения импульсов сил и :

1 Н·с, = 0,01 Н·с.

Мы видим, что , и импульсом силы тяжести действительно можно пренебречь.

Импульс замечателен тем, что под действием одной и той же силы он изменяется одинаково у всех тел, независимо от их массы, если только время действия силы одинаково. Разберем следующую задачу.

Задача 2 . Две частицы массами m и 2m движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями соответственно 2 и (рис. 3). На частицы начинают действовать одинаковые силы. Определить величину и направление скорости частицы массой 2m в момент времени, когда скорость частицы массой m стала такой, как показано пунктиром: а) на рисунке 3, а; б) на рисунке 3, б.

Изменение импульсов обеих частиц одно и то же: на них одинаковое время действовали одинаковые силы. В случае а) модуль изменения импульса первой частицы равен

Вектор направлен горизонтально (рис. 4, а). Так же меняется и импульс второй частицы. Поэтому модуль импульса второй частицы будет равен

модуль скорости равен , а угол .

Аналогично найдем, что в случае б) модуль изменения импульса первой частицы равен (рис. 4, б). Модуль импульса второй частицы станет равным (это нетрудно найти, воспользовавшись теоремой косинусов), модуль скорости этой частицы равен и угол (согласно теореме синусов).

Когда мы переходим к системе взаимодействующих тел (частиц), то оказывается, что полный импульс системы - геометрическая сумма импульсов взаимодействующих тел - обладает замечательным свойством сохраняться во времени. Этот закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. В учебнике «Физика 8» этот закон выведен для случая двух взаимодействующих тел, образующих замкнутую систему (эти тела не взаимодействуют ни с какими другими телами). Легко обобщить этот вывод на замкнутую систему, состоящую из произвольного числа n тел. Покажем это.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса i -гo тела системы за малый промежуток времени Δt равно сумме импульсов сил взаимодействия его со всеми другими телами системы:

Изменение полного импульса системы есть сумма изменений импульсов, составляющих систему тел: по второму закону Ньютона, равно сумме импульсов всех внутренних сил системы:

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между телами системы попарно одинаковы по абсолютной величине и противоположны по направлению: . Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю, значит,

Но если изменение некой величины за произвольный малый промежуток времени Δt равно нулю, то сама эта величина неизменна во времени:

Таким образом, изменение импульса любого из тел, составляющих замкнутую систему, компенсируется противоположным изменением в других частях системы. Иными словами, импульсы тел замкнутой системы могут как угодно изменяться, но сумма их остается постоянной во времени. Если же система не замкнута, то есть на тела системы действуют не только внутренние, но и внешние силы, то, рассуждая подобным образом, придем к выводу, что приращение полного импульса системы за промежуток времени Δt будет равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:

Импульс системы могут изменить только внешние силы.

Если , то незамкнутая система ведет себя подобно замкнутой, и к ней применим закон сохранения импульса.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

Задача 3 . Орудие массы m соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. В момент, когда скорость орудия равна , производят выстрел, в результате которого орудие останавливается, а вылетевший в горизонтальном направлении снаряд «уносит» импульс (рис. 5). Продолжительность выстрела равна τ. Каково среднее за время τ значение силы реакции со стороны наклонной плоскости?

Начальный импульс системы тел орудие - снаряд равен , конечный импульс равен . Рассматриваемая система не замкнута: за время τ она получает приращение импульса . Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции (перпендикулярной наклонной плоскости) и силы тяжести , поэтому можно записать

Представим это соотношение графически (рис. 6). Из рисунка сразу видно, что искомое значение определяется формулой

Импульс - величина векторная, поэтому закон сохранения импульса можно применять к каждой из его проекций на оси координат. Иначе говоря, если сохраняется , то независимо сохраняются p x , p y и p z (если задача трехмерная).

В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление - нуль, проекция полного импульса на это же направление сохраняется неизменной. Например, при движении системы в поле силы тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление.

адача 4 . Горизонтально летящая пуля попадает в деревянный брусок, подвешенный на очень длинном шнуре, и застревает в бруске, сообщив ему скорость u = 0,5 м/с. Определить скорость пули перед ударом. Масса пули m = 15 г, масса бруска М = 6 кг.

Торможение пули в бруске - сложный процесс, но для решения задачи нет никакой необходимости вникать в его детали. Так как в направлении скорости пули до удара и скорости бруска после застревания пули (подвес очень длинный, поэтому скорость бруска горизонтальна) не действуют внешние силы, то можно применить закон сохранения импульса:

Отсюда скорость пули

υ » 200 м/с.

В реальных условиях - в условиях земного притяжения - не существует замкнутых систем, если не включать в них Землю. Однако, если взаимодействие между телами системы много сильнее, чем их взаимодействие с Землей, то можно с большой точностью применять закон сохранения импульса. Так можно поступать, например, при всех кратковременных процессах: взрывах, столкновениях и т. п. (см. например, задачу 1).

Задача 5 . Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой m p = 500 кг и головного конуса массой m к = 10 кг. Между ними помещена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость υ = 5,1 м/с по отношению к ракете-носителю. Каковы будут скорости конуса υ к и ракеты-носителя υ p , если их отделение произойдет на орбите при движении со скоростью υ = 8000 м/с?

Согласно закону сохранения импульса

Кроме того,

Из этих двух соотношений получим

Эту задачу можно решать и в системе отсчета, движущейся со скоростью в направлении полета. Заметим в связи с этим, что если импульс сохраняется в одной инерциальной системе отсчета, то он сохраняется и в любой другой инерциальной системе отсчета.

Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Струя газа, вырывающаяся из ракеты, уносит импульс. Этот импульс должен быть скомпенсирован таким же по модулю изменением импульса оставшейся части системы ракета-газ.

Задача 6 . Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгорания порциями одной и той же массы m со скоростью относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты, которой она достигнет после вылета n -й порции.

Пусть - скорость ракеты относительно Земли после выброса 1-й порции газа. По закону сохранения импульса

где - скорость первой порции газа относительно Земли в момент разделения системы ракета-газ, когда ракета уже приобрела скорость . Отсюда

Найдем теперь скорость ракеты после вылета второй порции. В системе отсчета, движущейся со скоростью ракета перед вылетом второй порции неподвижна, а после выброса приобретает скорость . Воспользовавшись предыдущей формулой и сделав в ней замену , получим

Тогда будет равно

Закону сохранения импульса можно придать другую форму, упрощающую решение многих задач, если ввести понятие центра масс (центра инерции) системы. Координаты центра масс (точки с ) по определению связаны с массами и координатами частиц, составляющих систему, следующими соотношениями:

Следует заметить, что центр масс системы в однородном поле тяжести совпадает с центром тяжести.

Для выяснения физического смысла центра масс вычислим его скорость , а точнее, проекции этой скорости. По определению

В этой формуле

и

Точно так же найдем, что

Отсюда следует, что

Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы, таким образом, приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения системы как целого. Если , то система как целое покоится, хотя при этом тела системы относительно центра инерции могут двигаться произвольным образом.

С помощью формулы закон сохранения импульса может быть сформулирован так: центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Если система не замкнута, то можно показать, что

Ускорение центра инерции определяется равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе.

Рассмотрим такие задачи.

3адача 7 . На концах однородной платформы длиной l находятся два человека, массы которых и (рис. 7). Первый прошел до середины платформы. На какое расстояние х надо переместиться по платформе второму человеку, чтобы тележка вернулась на прежнее место? Найти условие, при котором задача имеет решение.

Найдем координаты центра масс системы в начальный и конечный моменты и приравняем их (поскольку центр масс остался на том же месте). Примем за начало координат точку, где в начальный момент находился человек массой m 1 . Тогда

(здесь М - масса платформы). Отсюда

Очевидно, что если m 1 > 2m 2 , то x > l - задача теряет смысл.

Задача 8 . На нити, перекинутой через невесомый блок, подвешены два груза, массы которых m 1 и m 2 (рис. 8). Найти ускорение центра масс этой системы, если m 1 > m 2 .

Закон сохранения импульса для системы мат.точек полный импульс замкнутой системы остаётся постоянным.

(в тетради!!)

19.Закон движения центра масс системы

Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

система материальных точек;

протяжённое тело или система протяжённых тел;

вообще любая механическая система, состоящая из любых тел.

20.Закон сохранения импульса

утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

21.Закон сохранения момента импульса

момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.

22.Внутренняя энергия системы материальных точек

Внутренняя энергия системы тел равна сумме внутренних энергий каждого из тел в отдельности и энергии взаимодействия между телами.

23.Неинерциальные системы отсчёта

Переносная скорость связана с характером движения неинерциальной системы отсчёта относительной инерциальной

Сила инерции не связана с взаимодействием объектов, зависит только от характера действия одной системы отсчёта на другую.

24.Переносная скорость, переносное ускорение - это скорость и ускорение того места подвижной системы координат, с которым в данный момент совпадает движущаяся точка.

Переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой. (переносное движение - это движение второй СО относительно первой )

25.Ускорение Кориолиса

Сила Кориолиса - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Кориолиса ускорение - поворотное ускорение, часть полного ускорения точки, появляющаяся при т. н. сложном движении, когда переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчёта, не является поступательным. К. у. появляется вследствие изменения относительной скорости точки υ отн при переносном движении (движении подвижной системы отсчёта) и переносной скорости при относительном движении точки

Численно К.у. равно:

26.Силы инерции

Сила инерции - векторная величина, численно равная произведению массы m материальной точки на её ускорение w и направленная противоположно ускорению

При криволинейном движении С. и. можно разложить на касательную, или тангенциальную, составляющую ,направленную противоположно касат. ускорению ,и на нормальную, или центробежную, составляющую ,направленную вдоль гл. нормали траектории отцентра кривизны; численно , , где v - скорость точки,- радиус кривизны траектории.

А можно и в неинерциальной системе воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Нет тела или поля, под действием которого вы начали двигаться в троллейбусе. Силы инерции вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона в неинерциальной системе. Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются.

(Сила инерции - фиктивная сила, которую можно ввести в неинерциальной системе отсчёта так, чтобы законы механики в ней совпадали с законами инерциальных систем)

Среди сил инерции выделяют следующие:

простую силу инерции;

центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от оси во вращающихся системах отсчёта;

силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта;