Реферат - Числовые функции и их свойства. Прямая и обратная пропорциональные зависимости - файл n1.doc

Обладают многими свойствами:

1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает

2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).

3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А , если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x)
f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.

Уроки 1-2. Определение числовой функции и способы ее задания

09.07.2015 11705 0

Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение материала 9 класса

Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.

Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).

Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).

Пример 1

Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).

Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).

Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим

В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).

Пример 2

Рациональная функция определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .

Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Зависимость уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению x (x = 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.

Пример 5

Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.

На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).

Рассмотрим теперь основные способы задания функций.

1) Аналитический (с помощью формулы или формул).

Пример 6

Рассмотрим функции:

Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.

в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.

2) Табличный

Пример 7

Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.


		2,25		6,25

Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.

3) Графический

В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.

Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.

В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.

Пример 8

Дана функция Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.

2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.

По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).

Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.

Пример 9

Дана функция у = 2х2 - 3х +1.

Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).

Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:

Пример 10

Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).

а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;

б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно, что Найдем х(у).

Обозначим буквой z = x - 2, тогда х = z + 2, и запишем условие задачи: или To же условие запишем для аргумента (- z ): Для удобства введем новые переменные a = y (z ) и b = y (- z ). Для таких переменных получим систему линейных уравнений

Нас интересует неизвестная a .

Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:

Сложим эти уравнения: откуда Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:

В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:

а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);

б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);

в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции

г) степенной функции у = ха (в частности, функции

д) функции у = |х|.

Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.

1. Дайте определение числовой функции.

2. Расскажите о способах задания функции.

3. Что называется объединением множеств А и B ?

4. Какие функции называются целыми рациональными?

5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?

6. Что называют графиком функции f (х)?

7. Приведите свойства и графики основных функций.

IV. Задание на уроках

§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.

V. Задание на дом

§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.

VI. Творческие задания

1. Найдите функцию у = f (х), если:

Ответы:

2. Найдите функцию у = f (x ) если:

Ответы:

VII. Подведение итогов уроков

Данный материал составлен по ФГОС

урок математики в 9 классе по теме: «Числовые функции их свойства и графики», учебник А.Г.Мордковича.

Урок развивающего контроля и открытия нового знания
приложение к уроку и презентация.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Числовые функции, их свойства и Графики. Урок математики в 9 классе на итоговой аттестации ИДПО подгруппа №9 Заводской район г. Саратова 25.10.2013

Эпиграф «Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность». Бернард Шоу

Творческая работа Придумать « кусочную » функцию, построить график и прочитать его. Решение у =

Устная работа Назвать функцию и задать её аналитически

Теоретический опрос Сформулируйте определение числовой функции. Что называют областью определения функции. Что называют графиком функции. Перечислите способы задания функции. Какую функцию называют возрастающей (убывающей). Какую функцию называют четной (нечетной). Какое число называют наименьшим (наибольшим) значением функции. Какая функция называется ограниченной.

Тесты в формате ГИА (базовый уровень)

ответы Вариант № 5 Вариант № 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3

Выполнение упражнений гиа № 1. Постройте график функции у = х 2 - 4 +3 , пользуясь графиком, найдите промежутки монотонности. При каких значениях a прямая у=а имеет две общие точки с графиком данной функции? Ответ: а>3, а = -1

№ 2. Решите графически неравенство х -2 ≤ -х 3 Ответ: х≤ -1

Я узнал Я научился Я повторил Я закрепил Сегодня на уроке

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока математики в 9 классе по теме: «Числовые функции их свойства и графики», учебник А.Г.Мордковича.

Урок развивающего контроля и открытия нового знания.

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1. Организационный Самоопределение к учебной деятельности (1)

Создать благоприятный

психологический

настрой на работу

Приветствие, мобилизация

внимания детей.

Сообщают об отсутствующих, включаются в деловой ритм урока.

Личностные: самоопределение

Регулятивные : оценка готовности к уроку

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. (3)

Актуализация опорных знаний и способов деятельности

Сообщает тему и цель урока, дату записывает на доске Сегодня на уроке мы подведем итоги изучения главы «Числовые функции». Продолжим отрабатывать навыки построения и чтения графиков изученных функций и посмотрим, насколько глубоко изученная тема представлена в экзаменационных тестах.

Делают запись в тетради

Регулятивные: целеполагание

Коммуникативные: подготовка к рефлексии

3. Актуализация знаний (12)

Актуализация опорных знаний и способов деятельности с целью подготовки к контрольному уроку.

К уроку вам было предложено придумать «кусочную» функцию, построить график и прочитать его. Посмотрим ваше творчество.

1.Вызывает по желанию 2 учащихся к доске.

2.Проводит параллельно слайд-шоу графиков всех изученных числовых функций. (Приложение№2).

3.Проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (Приложение№3)

4.Выставляет оценки за д/з, за устную работу с учётом д/з.

1. Два человека работают у доски. (Приложение№1)

2.Остальные учащиеся с места называют изображенную функцию, задают её аналитически.

3.Учащиеся принимают активное участие в устном опросе.

Регулятивные: волевая саморегуляция в ситуации затруднения

Коммуникативные : выражение своих мыслей аргументация своего мнения

Познавательные: умение применять знания для практических задач

Личностные: формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового

4.Обобщение и систематизация знаний.(8)

Промежуточная рефлексия

Мы изучили и повторили свойства числовых функций. Проведем небольшое тестирование и убедимся в прочности ваших знаний. Предлагаемые тесты соответствуют базовому уровню сложности, у вас 7минут. Желаю успеха!

1. Раздает тесты (Приложение№4)

2.Собирает листочки после окончания времени, записывает на доске правильные ответы

Вариант№5	Вариант№6

3142

3. Многие выполнили тест хорошо, некоторые поняли, что необходимо повторить.

Решают тест, делая запись в тетради, если необходимо. После окончания времени сдают листочки.

Проверяют свои ответы.

Регулятивные: осознать качество и уровень усвоения знаний

Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задач

Личностные: формирование навыков самоанализа и самоконтроля

5. Применение знаний и умений в новой ситуации. (15)

Развитие исследовательских навыков, самодиагностики и само коррекции результатов

Выполнение упражнений (ГИА)

№1Постройте график функции

Y = x 2 -4 +3 пользуясь графиком , найдите промежутки монотонности. При каких значениях a прямая у=а имеет две общие точки с графиком данной функции?

(Приложение№5)

Кратко записывает задание на доске, вызывает ученика для решения, следит за грамотным решением задания. Оценивает.

№2. Решите графически неравенство х -2 ≤ -х 3 (Приложение№6)

Вызывает учащихся для построения графиков функций, объясняет как с помощью пробных точек по графику определить решение неравенства (штриховка)

Два человека работают по карточкам на боковой доске индивидуально, остальные выполняют в тетради решение задания №1.

На интерактивной доске изображают графики функций. Предлагают решить неравенство подбором или алгебраическим путем.

Завершают решение неравенства, пишут ответ.

Личностные: формирование познавательного интереса к предмету исследования, устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового

Познавательные: анализировать объект, выделяя существенные и несущественные признаки.

Коммуникативные: организовывать учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Регулятивные: определять новый уровень отношения к самому себе как субъекту деятельности

6.Информация о домашнем задании (2)

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

1 уровень: повторить п7, №27,29

2 уровень:повторить п.7, №30,33

Записывают домашнее задание

7.Рефлексия.(4)

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся

Инициировать рефлексию детей по поводу мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми

1. Предлагает продолжить предложение

«Сегодня на уроке

Я повторил …

Я закрепил …

Я научился …

Я узнал …»

2. Предлагает отметить в карточке то высказывание, которое больше всего подходит к работе на уроке

3. Выставляет оценки

1. Отвечают на вопросы

2. Отмечают в карточках

(приложение №7)

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Коммуникативные : умение выражать свои мысли, аргументация

Предварительный просмотр:

Приложение 1.

(проерка домашнего задания)

Решение

Предварительный просмотр:

Приложение 2

Устная работа

Назвать функцию и задать её аналитически

Предварительный просмотр:

Приложение 3

Теоретический опрос

Сформулируйте определение числовой функции.

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА».

Цели урока :

Методическая: повышение активно-познавательной деятельности учащихся путем проведения индивидуально-самостоятельной работы и применения тестовых заданий развивающего типа.

Обучающая: повторить элементарные функции, их основные свойства и графики. Ввести понятие взаимно-обратных функций. Систематизировать знания учащихся по теме; способствовать закреплению умений и навыков в вычислении логарифмов, в применении их свойств при решении заданий нестандартного типа; повторить построение графиков функций с помощью преобразований и проверить навыки и умения при самостоятельном решении упражнений.

Воспитательная: воспитание аккуратности, собранности, ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Развивающая: развивать интеллектуальные способности, мыслительные операции, речь, память. Развивать любовь и интерес к математике; в ходе урока обеспечить развитие у учащихся самостоятельности мышления в учебной деятельности.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебная литература.

Эпиграф урока: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

(М.В. Ломоносов).

ХОД УРОКА

Проверка домашнего задания.

Повторение показательной и логарифмической функций с основанием а = 2, построение их графиков в одной координатной плоскости, анализ их взаимного расположения. Рассмотреть взаимозависимость между основными свойствами этих функций (ООФ и ОЗФ). Дать понятие взаимно-обратных функций.

Рассмотреть показательную и логарифмическую функции с основанием а = ½ с

целью убедиться в соблюдении взаимозависимости перечисленных свойств и для

убывающих взаимно-обратных функций.

Организация самостоятельной работы тестового типа на развитие мыслительной

операции систематизации по теме «Функции и их свойства».