Законы кирхгофа являются одной из форм закона сохранения энергии и относятся к фундаментальным законам природы. Основные законы электрических цепей Закон сохранения энергии в цепях постоянного тока

Являются одной из форм закона сохранения энергии и относятся к фундаментальным законам природы.

Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при его нарушении электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.

Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью S (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и суммарный ток в узле должен быть равным нулю.

Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла – отрицательными. Тогда уравнение Кирхгофа для узла рис. 1 будет иметь вид или .

Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно . При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании этих токов в направлении противоположном изначально принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру , то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:

Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;

Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей минус число ветвей, содержащих источники тока , т.е. .

Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число не может быть больше числа узлов минус один.

Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа:

Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно выбранные направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с не может быть выбран произвольно, т.к. здесь он определяется действием источника тока .

Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

Число узлов цепи равно трем (a, b и c ), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b , тогда

По второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Всего для данной электрической цепи можно составить шесть контуров . Из этого числа нужно исключить контуры, замыкающиеся по ветви с источником тока. Тогда останутся только три возможных контура (рис. 2). Выбирая любую пару из трех, мы можем обеспечить условие, чтобы все ветви, кроме ветви с источником тока попали по крайней мере в один из контуров. Остановимся на первом и втором контурах и зададим произвольно направление их обхода как показано на рисунке стрелками. Тогда

Несмотря на то, что при выборе контуров и составлении уравнений все ветви с источниками тока должны быть исключены, второй закон Кирхгофа соблюдается и для них. При необходимости определения падения напряжения на источнике тока или на других элементах ветви с источником тока это можно сделать после решения системы уравнений. Например, на рис. 2 можно создать замкнутый контур из элементов , и , и для него будет справедливо уравнение

2.12.1 Сторонний источник электромагнитного поля и электрического тока в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является такой составной частью электрической цепи, без которой электрический ток в цепи не возможен. Это делит электрическую цепь на две части, одна из которых способна проводить ток, но не возбуждает его, а другая “сторонняя”– проводит ток и возбуждает его. Под действием ЭДС стороннего источника в цепи возбуждается не только электрический ток, но и электромагнитное поле, причем то и другое сопровождается при этом передачей энергии от источника в цепь.

2.12.2 Источник ЭДС и источник тока.

☻ Сторонний источник в зависимости от своего внутреннего сопротивления может быть источником ЭДСили источником тока

Источник ЭДС:
,

не зависит от.

Источник тока:
,

не зависит от.

Таким образом, любой источник, который выдерживает стабильное напряжение в цепи при изменении в ней тока, может рассматриваться как источник ЭДС. Это относится и к источникам стабильного напряжения в электрических сетях. Очевидно, условия
или
для реальных сторонних источников следует рассматривать как идеализированные приближения, удобные для анализа и расчета электрических цепей. Так при
взаимодействие стороннего источника с цепью определяется простыми равенствами

,
,
.

Электромагнитное поле в электрической цепи.

☻ Сторонние источники являются либо накопителями, либо генераторами энергии. Передача энергии источниками в цепь происходит только через электромагнитное поле, которое возбуждается источником во всех элементах цепи, независимо от их технических особенностей и прикладного значения, а также от сочетания физических свойств в каждом из них. Именно электромагнитное поле является тем первичным фактором, который задает распределение энергии источника по элементам цепи и определяет физические процессы в них, в том числе и электрический ток.

2.12.4 Сопротивление в цепях постоянного и переменного тока.

Рис 2.12.4

Обобщенные схемы одноконтурных цепей постоянного и переменного тока.

☻ В простых одноконтурных цепях постоянного и переменного тока зависимость тока от ЭДС источника можно выразить подобными формулами

,
.

Это дает возможность и сами цепи представить подобными схемами, как это показано на рис.2.12.4.

Важно подчеркнуть, что в цепи переменного тока величина означает не активное сопротивление цепи, а импеданс цепи, который превосходит активное сопротивление по той причине, что индуктивные и емкостные элементы цепи оказывают переменному току дополнительное реактивное сопротивление, так что

,
.

Реактивные сопротивления иопределяются частотой переменного тока, индуктивностьюиндуктивных элементов (катушек) и емкостьюемкостных элементов (кондесаторов).

2.12.5 Фазовый сдвиг

☻ Элементы цепи с реактивными сопротивлениями вызывают в цепи переменного тока особое электромагнитное явление- сдвиг по фазе между ЭДС и током

,
,

где - фазовый сдвиг, возможные значения которого определяются уравнением

Отсутствие фазового сдвига возможно в двух случаях, когда
или когда емкостные и индуктивные элементы в цепи отсутствуют. Фазовый сдвиг затрудняет вывод мощности источника в электрическую цепь.

2.12.6 Энергия электромагнитного поля в элементах цепи.

☻ Энергия электромагнитного поля в каждом элементе цепи состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля

Однако элемент цепи может быть так выполнен, что для него одно из слагаемых этой суммы будет доминирующим, а другое – не существенным. Так при характерных частотах переменного тока в конденсаторе
, а в катушке, наоборот,
. Поэтому можно считать, что конденсатор является накопителем энергии электрического поля, а катушка-накопителем энергии магнитного поля и для них соответственно

,
,

где учтено, что для конденсатора
, а для катушки
. Две катушки в одной цепи могут быть индуктивно независимыми или же индуктивно связанными через свое общее магнитное поле. В последнем случае энергия магнитных полей катушек дополняется энергией их магнитного взаимодействия

,
.

Коэффициент взаимной индукции
зависит от степени индуктивной связи между катушками, в частности от их взаимного расположения. Индуктивная связь может быть не существенной или отсутствовать полностью, тогда
.

Характерным элементом электрической цепи является резистор сопротивлением . Для него энергия электромагнитного поля
, т.к.
. Поскольку в резисторе энергия электрического поля испытывает необратимое превращение в энергию теплового движения, то для резистора

где количество теплоты соответствует закону Джоуля-Ленца.

Особым элементом электрической цепи является ее электромеханический элемент, способный при прохождении через него электрического тока выполнять механическую работу. Электрическим током в подобном элементе возбуждается сила или момент силы, под действием которых происходят линейные или угловые перемещения самого элемента или его частей относительно друг друга. Эти механические явления, связанные с электрическим током, сопровождаются превращением энергии электромагнитного поля в элементе в его механическую энергию, так что

где работа
выражается в соответствии с ее механическим определением.

2.12.7 Закон сохранения и превращения энергии в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является не только источником ЭДС, но и источником энергии в электрической цепи. За время
от источника в цепь поступает энергия, равная работе ЭДС источника

где
- мощность источника, или что тоже, интенсивность поступления энергии от источника в цепь. Энергия источника превращается в цепи в другие виды энергии. Так в одноконтурной цепи
с механическим элементом работа источника сопровождается изменением энергии электромагнитного поля во всех элементах цепи в полном соответствии с энергетическим балансом

Данное уравнение для рассматриваемой цепи выражает законы сохранения энергии. Из него следует

После соответствующих подстановок уравнение баланса мощности можно представить в виде

Это уравнение в обобщенной форме выражает закон сохранения энергии в электрической цепи на основе понятия мощности.

Закон

Кирхгофа

☻ После дифференцирования и сокращения тока из представленного закона сохранения энергии как следствии вытекает закон Кирхгофа

где в замкнутом контуре перечисленные напряжения на элементах цепи означают

,
,

,
,
.

2.12.9 Применение закона сохранения энергии для расчета электрической цепи.

☻ Приведенные уравнения закона сохранения энергии и закона Кирхгофа относятся только к квазистационарным токам, при которых цепь не является источником излучения электромагнитного поля. Уравнение закона сохранения энергии позволяет в простой и наглядной форме анализировать работу многочисленных одноконтурных электрических цепей как переменного, так и постоянного тока.

Полагая константы
равными нулю по отдельности или в их сочетании, можно рассчитывать разные варианты электрических цепей, в том числе при
и
. Ниже рассматриваются некоторые варианты расчета таких цепей.

2.12.10 Цепь
при

☻ Одноконтурная цепь, в которой через резистор заряжается конденсатор от источника с постоянной ЭДС (
). Принимается:
,
,
, а также
при
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи может быть записан в следующих равнозначных вариантах

Из решения последнего уравнения следует:

,
.

2.12.11 Цепь
при

☻ Одноконтурная цепь, в которой источник постоянной ЭДС (
) замыкается на элементы и. Принимается:
,
,
, а также
при
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи можно представить в следующих равнозначных вариантах

Из решения последнего уравнения следует

2.12.12 Цепь
при
и

☻ Одноконтурная цепь без источника ЭДС и без резистора, в которой заряженный конденсатор замыкается на индуктивный элемент. Принимается:
,
,
,
,
, а также при

и
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи с учетом того, что

Последнее уравнение соответствует свободным незатухающим колебаниям. Из его решения следует

,
,

,
,
.

Данная цепь является колебательным контуром.

2.12.13 Цепь RLC при

☻ Одноконтурная цепь без источника ЭДС, в которой заряженный конденсатор С замыкается на элементы цепи R и L. Принимается:
,
, а также при

и
. При таких условиях законно закон сохранения энергии для данной цепи с учетом того, что
, может быть записан в следующих вариантах

Последнее уравнение соответствует свободным затухающим колебаниям. Из его решения следует

,
,
,
.

Данная цепь является колебательным контуром с диссипативным элементом – резистором, из-за которого общая энергия электромагнитного поля в ходе колебаний убывает.

2.12.14 Цепь RLC при

☻ Одноконтурная цепь RCL представляет собой колебательный контур с диссипативным элементом. В цепи действует переменная ЭДС
и возбуждает в ней вынужденные колебания, в том числе и резонанс.

Принимается:
. При этих условиях закон сохранения энергии может быть записан в нескольких равнозначных вариантах.

Из решения последнего уравнения следует, что колебания тока в цепи являются вынужденными и происходят с частотой действующей ЭДС
, но со сдвигом фаз по отношению к ней, так что

где – фазовый сдвиг, значение которого определяется уравнением

Поступающая в цепь от источника мощность переменна

Усредненное значение этой мощности по одному периоду колебаний определяется выражением

Рис 2.12.14

Резонанс зависимости

Таким образам выводимая из источника в цепь мощность определяется фазовым сдвигом. Очевидно при его отсутствии указанная мощность становиться максимальной и это соответствует резонансу в цепи. Он достигается потому, что сопротивление цепи при отсутствии фазового сдвига принимает минимальное значение, равное только активному сопротивлению.

Отсюда следует, что при резонансе выполняются условия.

,
,
,

где – резонансная частота.

При вынужденных колебаниях тока его амплитуда зависит от частоты

Резонансное значение амплитуды достигается при отсутствии фазового сдвига, когда
и
. Тогда

На рис. 2.12.14 показана резонансная кривая
при вынужденных колебаниях в цепиRLC.

2.12.15 Механическая энергия в электрической цепях

☻ Механическая энергия возбуждается особыми электромеханическими элементами цепи, которые при прохождении по ним электрического тока выполняют механическую работу. Это могут быть электрические двигатели, электромагнитные вибраторы и др. Электрическим током в этих элементах возбуждаются силы или моменты сил, под действием которых происходят линейные, угловые или колебательные перемещения, при этом электромеханический элемент становиться носителем механической энергии

Варианты технической реализации электромеханических элементов практически безграничны. Но в любом случае происходит одно и тоже физическое явление – превращение энергии электромагнитного поля в механическую энергию

Важно подчеркнуть, что это превращение происходит в условиях электрической цепи и при безусловном выполнении закона сохранения энергии. Следует учесть, что электромеханический элемент цепи при любом своем назначении и техническом исполнении является накопителем энергии электромагнитного поля
. Она накапливается на внутренних емкостных или индуктивных частях электромеханического элемента, между которыми и возбуждается механическое взаимодействие. При этом механическая мощность электромеханического элемента цепи определяется не энергией
, а производной по времени от нее, т.е. интенсивностью ее измененияР внутри самого элемента

Таким образом, в случае простой цепи, когда сторонний источник ЭДС замкнут только на электромеханический элемент, закон сохранения энергии представляется в виде

где учтены неизбежные необратимые тепловые потери мощности стороннего источника. В случае более сложной цепи, в которой есть дополнительные накопители энергии электромагнитного поля W , закон сохранения энергии записывается в виде

Учитывая, что
и
, последнее уравнение можно записать в виде

В простой цепи
и тогда

Более строгий подход требует учета процессов трения, которые дополнительно уменьшают полезную механическую мощность электромеханического элемента цепи.

Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах Задача 1  A  Q 0 W A  kмех  ист Вариант 1 При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов размыкают. После этого замыкают ключ К2. Решение. По закону сохранения энергии изменение энергии в конденсаторе определяется соотношением мехA  работа механических сил равна нулю, так как нет перемещений внутри конденсаторов. истA  работа источника тока равна нулю, так как при замыкании ключа К2 ключ К1 разомкнут, источник тока отключен. Q  количество теплоты, которое выделяется при движении зарядов. W W кн Начальная и конечная энергии конденсаторов соответствуют соответственно разомкнутому и замкнутому ключу К2. Для начального состояния (конденсаторы заряжаются от источника тока): Q Q W W кк       0 кн кк Для конечного состояния (в схеме остаются только конденсатор С2 и параллельный ему конденсатор С3.). Заряды конденсаторов сохраняются., так как цепь разомкнута. q 23  2 Ec W кк   2 q 23 2 C 23  2 2 E c 4   2 (c 2) c  2 3 2 E c Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ. 2 Q E c   Вариант 2. 2 3 2 E c  1 3 2 E c  2 c C o  q o  W кн  2) c 2 c Ec 2 1    () C C C 6 (c c 3     c C C C c 6 3 2 1      q q q 2 E C 1 3  2 С U 2 с E о 2 2 cE 2 2 о   2 o кн  ист Q A kk  ист   kkкн  При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов замыкают ключ К2. Решение. В этом случае ключ К2 замыкают под напряжением, источник тока остается подключенным постоянно, участвует в перезарядке конденсаторов, поэтому совершает работу. Закон сохранения энергии в этом случае принимает вид:  W W Q W W A Начальное состояние схемы такое же, как в варианте 1, поэтому начальные заряды и энергия конденсаторов соответствуют рассчитанным. В конечном состоянии после замыкания ключа К2 оставшиеся параллельно соединенные конденсаторы С2 и С3 будут заряжаться (дозаряжаться) от источника тока. C q ok     c C C 3 2 ok    3 Ec E C ok 2 2 C E 3 E c ok 2 2 Работа источника тока: E q E q A (ист ok Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ.       E (3 Ec  2 Ec)  q oн)  2 E c 2 c  3 c W kk   2 Q E c   2 2 E c E c   2 E c 3 2 1 3 Одинаковый ответ в первом и втором варианте – это не закономерность, а случайность. Задача 2 В исходном состоянии для схемы рис.2 С1=2С, С2=3С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро раздвинули, увеличив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. При быстром движении пластины против силы Кулона заряд пластин сохраняется, сила Кулона совершает отрицательную работу, а внешняя сила – положительную работу. Вторая пластина двигается в поле первой пластины, электроемкость первого конденсатора уменьшается в 2 раза. A мех  F k   dЕ q 1 2 q   d q н 1  2 S 0  2 н d 2 q d   1 н  2 S 0 2 q  1 н 2 C н Для начального состояния (до начала движения) : C 0 н  1 н  С C 2  C C 2 1 н  q 0 н  q 1 н  q 2 н   2 3 c c  3 2 c c Ec 6 5   6 5 c A мех  2 2 36 E c  25 2  0,72 2 E c W кн  2 6 сE  5 2  0,6 2 E c Так как электроемкость С1 уменьшилась быстро, то при последующем переходном процессе напряжение на нем должно увеличиваться, поэтому для того чтобы сумма напряжений на С1 и С2 оставалась равна E, заряд будет уходить в источник тока, значит, источник тока будет совершать отрицательную работу. Для конечного состояния:  3 c c  3 c c  C C 2  C C 1 3 4 C 0    c 1 k 2 k k k н 0 2 2 ()       E q 0 W кк A ист (E q 0 3 cE  2 4 C E k 2 3 4 3 8 Закон сохранения энергии W W Q Q W W AА Задача 3  kkкн    мех  kkкн  ист  мех   ист AА cE Ec  6 5 Ec)   9 20 2 E c   0, 45 2 E c 2  0,375 cE 2   (0,375 0,6 0,72 0, 45) E c    2  0, 495 E c 2 В исходном состоянии для схемы рис.3 С1= С2=С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро cдвинули, уменьшив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. Для начального состояния:    с с  2 CС oн с 2 qЕ С он   сЕ W он  2   кн 2  С 1 н 2 сE  сЕ 2 2 При быстром перемещении пластин конденсатора все заряды сохраняются, а электроемкость первого конденсатора увеличивается в 2 раза. При этом для постоянства разности потенциалов на источнике тока необходим больший заряд, поэтому в последующем переходном процессе заряд потечет от источника тока, и источник тока будет совершать положительную работу. 2 c сЕ)     qсЕ c ок  3 c 2 3 C oк  сЕ    2 C c 1 к  2 (3 AЕ сЕ ист 2 3 сЕ 2 W кк  A мех   2 q 1 н  2 S oн d  н 2 2 q   1 н 4 Cс 1   2 2 Е с 4 2   сЕ 4 Так как сила Кулона совершает отрицательную работу, то внешняя сила – положительную работу при перемещении на расстояние   Q W WА кк кн Задача 4  А ист   сЕ мех 2 нd 1 2  cЕ 1,5 .  2 сЕ 2  0,25 cЕ 2  0,25 cЕ 2 1 01 02 0   Решение. Данная задача с ненулевыми начальными условиями и особенность ее в том, что при замыкании ключа К суммарный заряд правой пластины конденсатора C1 и левой пластины конденсатора С2 неравен нулю:  для согласного включения конденсаторов q U C U C 0 2 (полярности так, как на рисунке 4). Этот заряд будет сохраняться (по закону сохранения электрического заряда) при любых последующих переходных процессах. Так как схема подключена к источнику тока, то при замыкании ключа К заряды конденсаторов (правых пластин) изменятся и будут равны после переходного процесса q1 и q2 , а напряжения U1 и U2. Эти заряды и напряжения должны соответствовать закону сохранения заряда и соотношению напряжений при последовательном согласном включении. Получаем систему двух уравнений. Если бы конденсатор С2 был включен встречно (по полярности), то знаки и q2, и U2 изменились бы на противоположные. 1 U U q q 2 1    2  E  q 0  q q 1 2 C C 1 q q 1  2 2  E  q 0 q C 1 2  (q 1  q C EC C 0 2)  1 1          Находим заряды конденсаторов. q 1  q 2  EС С q C 1 0 EС С U C U C C 2 02 1 2   EС С q C 2 0 EС С U C U C C 2 01 2  1  1 2  C C 2  1 2  C C 2 1 1 1  2  01  2 1 C C 2 2 01  C C q p , то есть 0 1 1 2 1  q p или 0 Из соотношений ясно, что возможны ситуации, когда конденсаторы в результате переходного процесса могут перезарядиться на противоположные полярности. Работа источника тока (для положительного полюса) : истAЕ q   2 1 2   q 2 q 2  q 02  Можно показать, что EC C U C U C C 1 01 1 2   2 02 2  C C 1    q q 2 1 2 2  U C 2 02  EC C U C C U C C 1 01 1 2   02 2 C C 1 1  2 2 Энергия конденсаторов для начального состояния: W W W н 1 н   н  2 2 01 С U 1 2  2 02 С U 2 2 Для конечного состояния: W k  2 q 2 2 C 2  2 q 1 2 C 1  2 C U об 2 об Следует отметить, что W k  , так как при ненулевых начальных условиях общий заряд неравен зарядам последовательно соединенных конденсаторов. Определим значение выделившейся теплоты при следующих численных значениях: C1=c, С2=3с, E= 8 в, U01 =4 в, U02 =2 в. q 0 q 1   q  4 8       2 3 2 c c c     3 2 c 11 c c c     3 c 2 c      4 c 3 3 c c c 4 c 14    2 c  3 c q 2 8 c   8 c   3 c 4 c  c 2 3 c   15 2 c 3 2 c Wс н W k  2 с   16 2 11 (2   8 1,5 c   c)  3 4 с 2  2 c  12 c  A ист Q W W Aс ист н к Задача 5. 15 c (2 2)  2 3 c  121 c 8  75 c 8  24,5 c  14  c 24,5 c  12 c  1,5 2 1    E U U , поэтому заряды ни от источника, ни к источнику не потекут Решение. 1. Теплота выделяется только в том случае, когда происходит перераспределение зарядов, т.е. течет ток. При размыкании ключа это может произойти только от источника тока. Разность потенциалов между точками А и В при этом не изменяется так как АВU (заряды могут перетекать, если потенциал положительного полюса источника тока неравен потенциалу т.В, а потенциал отрицательного полюса источника неравен потенциалу т.А). Значит, заряды конденсаторов не изменятся, работа источника тока равна нулю, поэтому теплота при размыкании ключа выделяться не будет. 2. Неизменность зарядов конденсаторов можно доказать, используя закон сохранения заряда для средней точки схемы.  Для начального состояния:     2 q 1 н q 23 C он q он  С С С) 1 3  С С С 1 3 ( 2 EC 1   C C C 3 1 2 2)  (EС С С 3 1   С С С 1 3 EC C 3    C C C 3 1 1 2 2 q 23  (C C U    U ) 23 23 2 3   q 3 н C U 3 23 Так как при размыкании ключа отключается левая пластина конденсатора С3 от средней точки, то с ней уходит и ее отрицательный заряд q3н. Поэтому по закону сохранения заряда для средней точки получим: q 1  q 2  q 3 н  1 EC C 3   C C C 3 1 2 Решая это уравнение совместно с уравнением для напряжений при последовательном соединении U U  1 2    E q q 2 1 C C 1 2  E , можно определить q1 и q2 установившиеся после переходного процесса заряды конденсаторов. Получим q 1 )  EС С С 3  С С С 1 3 (1  2 2 , значение которого равно q1н, что означает, что перераспределения зарядов при размыкании ключа происходить не будет.

2.12.1 Сторонний источник электромагнитного поля и электрического тока в электрической цепи.

2.12.2 Источник ЭДС и источник тока.

Источник ЭДС:
,

не зависит от.

Источник тока:
,

не зависит от.

,
,
.

Электромагнитное поле в электрической цепи.

2.12.4 Сопротивление в цепях постоянного и переменного тока.

Рис 2.12.4

Обобщенные схемы одноконтурных цепей постоянного и переменного тока.

,
.

Это дает возможность и сами цепи представить подобными схемами, как это показано на рис.2.12.4.

,
.

2.12.5 Фазовый сдвиг

,
,

где - фазовый сдвиг, возможные значения которого определяются уравнением

2.12.6 Энергия электромагнитного поля в элементах цепи.

,
,

,
.

где количество теплоты соответствует закону Джоуля-Ленца.

где работа
выражается в соответствии с ее механическим определением.

2.12.7 Закон сохранения и превращения энергии в электрической цепи.

Данное уравнение для рассматриваемой цепи выражает законы сохранения энергии. Из него следует

После соответствующих подстановок уравнение баланса мощности можно представить в виде

Закон

Кирхгофа

где в замкнутом контуре перечисленные напряжения на элементах цепи означают

,
,

,
,
.

2.12.9 Применение закона сохранения энергии для расчета электрической цепи.

2.12.10 Цепь
при

Из решения последнего уравнения следует:

,
.

2.12.11 Цепь
при

Из решения последнего уравнения следует

2.12.12 Цепь
при
и

Последнее уравнение соответствует свободным незатухающим колебаниям. Из его решения следует

,
,

,
,
.

Данная цепь является колебательным контуром.

2.12.13 Цепь RLC при

Последнее уравнение соответствует свободным затухающим колебаниям. Из его решения следует

,
,
,
.

2.12.14 Цепь RLC при

где – фазовый сдвиг, значение которого определяется уравнением

Поступающая в цепь от источника мощность переменна

Усредненное значение этой мощности по одному периоду колебаний определяется выражением

Рис 2.12.14

Резонанс зависимости

Отсюда следует, что при резонансе выполняются условия.

,
,
,

где – резонансная частота.

При вынужденных колебаниях тока его амплитуда зависит от частоты

Резонансное значение амплитуды достигается при отсутствии фазового сдвига, когда
и
. Тогда

На рис. 2.12.14 показана резонансная кривая
при вынужденных колебаниях в цепиRLC.

2.12.15 Механическая энергия в электрической цепях

Учитывая, что
и
, последнее уравнение можно записать в виде

В простой цепи
и тогда

Электрические процессы, протекающие в электрических цепях, подчиняются следующим законам.

Закон Ома для участка цепи . Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи выражается законом Ома

В этом случае U = RI - называют напряжением или падением напряжения на резисторе R, а - током в резисторе R.

При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью: . В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:

Закон Ома для всей цепи . Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r0 , током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ = r0 + R всей цепи:

Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в узле электрической цепи. В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

где m - число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла - со знаком «минус».

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями на элементах контура. Контур состоит из ветвей, образующих замкнутый путь для протекания электрического тока. Для замкнутого контура, также выполняется закон сохранения энергии. В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

где n - число источников ЭДС в контуре;

m - число элементов с сопротивлением R к в контуре;

U к = R к I к - напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.

Для схемы на рис. 4 второй закон Кирхгофа по второй форме записи имеет вид:

Для записи 2 -го закона Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать условно - положительное направление обходов элементов контура (обычно, по часовой стрелке).

2. Записать алгебраическую сумму падений напряжений, в которой со знаком «+» берутся те падения напряжения, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те падения напряжений которые не совпадают.
3. Записать алгебраическую сумму источников эдс, в которой со знаком «+» берутся те эдс, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те эдс, которые не совпадают.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить за тем, чтобы были охвачены все ветви схемы: в каждый новый контур, для которого составляется уравнение, должна входить хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже составлены уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми .

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы:

контур I: E = RI + R 1 I 1 + r 0 I,

контур II: R 1 I 1 + R 2 I 2 = 0,

контур III: E = RI + R 2 I 2 + r 0 I.

В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия. Для постоянного тока

Единица измерения энергии джоуль - [Дж].

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

Это соотношение называют уравнением баланса мощностей.